3.4 Calculo de la inversa de una matriz
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Porpiedades de la inversión de matrices
La matriz inversa, si existe, es única
A-1A=A·A-1=I
(A·B) -1=B-1A-1
(A-1) -1=A
(kA) -1=(1/k·A-1
(At) –1=(A-1) t
Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
Directamente (Ejemplo)
Usando determinantes
Por el método de Gauss-Jordan
3.5 Definicion de determinante de una matriz
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Ejemplo
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
Ejemplo
Determinantes
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir: