3.2 Operaciones con matricez

Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
A + 0 = A (0 es la matriz nula)
La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)

Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
1·A = A (elemento unidad)

Propiedades simplificativas
A + C = B + C Û A = B.
k A = k B Û A = B si k es distinto de 0.
k A = h A Û h = k si A es distinto de 0.

Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C
El producto de matrices en general no es conmutativo. (
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C
El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)
Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Consecuencias de las propiedades
Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)
Si A·B=A·C no implica que B = C. (Ejemplo)
En general (A+B)2 ¹ A2 + B2 +2AB,ya que A·B ¹ B·A.
En general (A+B)·(A–B) ¹ A2–B2, ya que A·B ¹ B·A.

Matrices iguales
Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :