4.1. DEFINICION ESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse. Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y complicada.
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.
Propiedades del espacio vectorial.
Hay una serie de propiedades que se demuestran fácilmente a partir de los axiomas del espacio vectorial. Algunas de ellas se derivan de la teoría elemental de grupos, aplicada al grupo (aditivo) de vectores: por ejemplo, el vector nulo 0 Є V, y el opuesto -v de un vector v son únicos. Otras propiedades se pueden derivar de la propiedad distributiva, por ejemplo, la multiplicación por el escalar cero da el vector nulo y ningún otro escalar multiplicado por un vector da cero:
Propiedad
Significado
Unicidad del vector nulo
Unicidad del opuesto de un vector
Producto por el escalar cero
0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad.
Producto de un escalar por el vector nulo
a 0 = 0
Opuesto del producto de un vector por un escalar
- (a v) = (-a) v = a (-v)
viernes, 30 de octubre de 2009
3.9 Solucion de un sistema de ecuaciones lineales por la regla de cramer
a) Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Ejemplo
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A·X = B, entonces X = A-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.
3.10 Aplicación de las matrices y los determinantes
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:
donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes. Representación matricial de un s.e.l.
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes. También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:
Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican:
1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')
2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:
Si r = r' = n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible determinado (una única solución)
Si r = r' < n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.
Resolución de un s.e.l.
a) Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Ejemplo
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A·X = B, entonces X = A-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.
a) Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Ejemplo
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A·X = B, entonces X = A-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.
3.10 Aplicación de las matrices y los determinantes
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:
donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes. Representación matricial de un s.e.l.
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina matriz de coeficientes. También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:
Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican:
1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')
2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:
Si r = r' = n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible determinado (una única solución)
Si r = r' < n (nº de incógnitas) Þ Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.
Resolución de un s.e.l.
a) Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.
Ejemplo
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A·X = B, entonces X = A-1B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado.
3.7 Inversa de una matriz cuadrada a travez de la adjunta
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
3.8 Solucion de un sistema de ecuaciones lineales a travez de la inversa
Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.
Dada la matriz
la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por aij
Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jaij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:
La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.
Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:
En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para los negativos:
3.8 Solucion de un sistema de ecuaciones lineales a travez de la inversa
Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento aij.
Dada la matriz
la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del elemento aij , y se representa por aij
Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+jaij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:
La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la igualdad.
Nota Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros
3.6 Propiedades de los determinantes
Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
Ejemplo
· Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
Ejemplo
· Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
det (A·B) = det (A) · det (B)
Ejemplo
· Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)
Ejemplo
· Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
det (0, L2, L3...) = 0
Ejemplo
· Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
det (L1, L1, L3...) = 0
Ejemplo
· Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.
det (L1, k·L1, L3...) = 0
Ejemplo
· Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
Ejemplo
· Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)
Ejemplo
· Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0
Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
Ejemplo
· Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
Ejemplo
· Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
det (A·B) = det (A) · det (B)
Ejemplo
· Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = -det (L2, L1, L3...)
Ejemplo
· Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
det (0, L2, L3...) = 0
Ejemplo
· Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
det (L1, L1, L3...) = 0
Ejemplo
· Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.
det (L1, k·L1, L3...) = 0
Ejemplo
· Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas), su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
Ejemplo
· Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)
Ejemplo
· Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0
3.4 Calculo de la inversa de una matriz
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Porpiedades de la inversión de matrices
La matriz inversa, si existe, es única
A-1A=A·A-1=I
(A·B) -1=B-1A-1
(A-1) -1=A
(kA) -1=(1/k·A-1
(At) –1=(A-1) t
Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
Directamente (Ejemplo)
Usando determinantes
Por el método de Gauss-Jordan
3.5 Definicion de determinante de una matriz
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Ejemplo
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
Ejemplo
Determinantes
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.
Porpiedades de la inversión de matrices
La matriz inversa, si existe, es única
A-1A=A·A-1=I
(A·B) -1=B-1A-1
(A-1) -1=A
(kA) -1=(1/k·A-1
(At) –1=(A-1) t
Observación Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:
Directamente (Ejemplo)
Usando determinantes
Por el método de Gauss-Jordan
3.5 Definicion de determinante de una matriz
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Ejemplo
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas).
Ejemplo
Determinantes
Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por A ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i(s) es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:
3.3 Clasificacion de matricez
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :
Tipo de matriz
Definición
Ejemplo
FILA
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
Diagonal principal : Diagonal secundaria :
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVERSA
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I
Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.
Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :
Tipo de matriz
Definición
Ejemplo
FILA
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por At ó AT
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
Diagonal principal : Diagonal secundaria :
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVERSA
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I
Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.
3.2 Operaciones con matricez
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
A + 0 = A (0 es la matriz nula)
La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
1·A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
A + C = B + C Û A = B.
k A = k B Û A = B si k es distinto de 0.
k A = h A Û h = k si A es distinto de 0.
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C
El producto de matrices en general no es conmutativo. (
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C
El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)
Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Consecuencias de las propiedades
Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)
Si A·B=A·C no implica que B = C. (Ejemplo)
En general (A+B)2 ¹ A2 + B2 +2AB,ya que A·B ¹ B·A.
En general (A+B)·(A–B) ¹ A2–B2, ya que A·B ¹ B·A.
Matrices iguales
Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
A + B = B + A (propiedad conmutativa)
A + 0 = A (0 es la matriz nula)
La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
(k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
1·A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
A + C = B + C Û A = B.
k A = k B Û A = B si k es distinto de 0.
k A = h A Û h = k si A es distinto de 0.
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C
El producto de matrices en general no es conmutativo. (
Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m´ n y B dimensión n´ p, la matriz P será de orden m´ p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C
El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)
Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In. Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 .
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
Consecuencias de las propiedades
Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)
Si A·B=A·C no implica que B = C. (Ejemplo)
En general (A+B)2 ¹ A2 + B2 +2AB,ya que A·B ¹ B·A.
En general (A+B)·(A–B) ¹ A2–B2, ya que A·B ¹ B·A.
Matrices iguales
Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :
III. MATRICES Y DETERMINANTES
3.1Definición de matriz
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)
Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.El número total de elementos de una matriz Am×n es m·nEn matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. SylvesterEl desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
CONCEPTO DE MATRIZ
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij . Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz : A = (aij)
Cuando nos referimos indistíntamente a filas o columnas hablamos de lineas.El número total de elementos de una matriz Am×n es m·nEn matemáticas, tanto las Listas como las Tablas reciben el nombre genérico de matrices.
Una lista numérica es un conjunto de números dispuestos uno a continuación del otro.
sábado, 19 de septiembre de 2009
sábado, 5 de septiembre de 2009
JEAN-ROBERT ARGAND.
Jean-Robert Argand
Jean Robert Argand (18 de julio de 1768 - 13 de agosto de 1822) fue un contable y matemático suizo que describió en 1806 la representación geométrica de los números complejos, creando lo que se conoce como plano de Argand.
Plano complejo.
En matemáticas, el plano complejo es una forma de visualizar el espacio de los números complejos. Puede entenderse como un plano cartesiano modificado, en el que la parte real está representada en el eje x y la parte imaginaria en el eje y. El eje x también recibe el nombre de eje real y el y eje imaginario
Un número puede ser visualmente representado por un par de números formando un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand, aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-danés Caspar Wessel.
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áras de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.
Uso del plano complejo en teoría de control .
Un número puede ser visualmente representado por un par de números formando un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso en diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand, aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-danés Caspar Wessel.
El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de números complejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.
Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una función en el plano complejo.
El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, que encuentra aplicación en muchas otras áras de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.
Uso del plano complejo en teoría de control .
En teoría de control, uno de los usos del plano complejo se conoce como el 'plano s'. Se usa para visualizar las raíces de la ecuación describiendo la conducta de un sistema (la ecuación característica) gráficamente. La ecuación se expresa normalmente como un polinomio de parámetro 's' de la transformada de Laplace, y de ahí el nombre de plano 's'.
Además, otro uso del plano 's' es el criterio de estabilidad de Nyquist, que es un principio geométrico que permite determinar la estabilidad de un sistema de control mediante la inspección del diagrama de Nyquist de la respuesta de fase de la función de transferencia en el plano complejo.
El plano z es una versión de tiempo discreto del plano s, donde se usa la transformada Z en lugar de la de Laplace.
Además, otro uso del plano 's' es el criterio de estabilidad de Nyquist, que es un principio geométrico que permite determinar la estabilidad de un sistema de control mediante la inspección del diagrama de Nyquist de la respuesta de fase de la función de transferencia en el plano complejo.
El plano z es una versión de tiempo discreto del plano s, donde se usa la transformada Z en lugar de la de Laplace.
Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Robert_Argand"
LEONARD EULER.
Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Brucker
Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza), y murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función matemática.[1] También se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes.[2] Una afirmación atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»[3]
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
Primeros años
Antiguo billete de 10 francos suizos con el retrato de Euler.
Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor luterano, y de Marguerite Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas pequeñas llamadas Anna Maria y Maria Magdalena. Poco después de su nacimiento, su familia se trasladó desde Basilea a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó su infancia. Por su parte, Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli, famosa familia de matemáticos entre los que destacaba Johann Bernoulli, que en ese momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven Leonhard.
La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A la edad de trece años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, que descubrió rápidamente el increíble talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.[4]
En aquella época Euler se dedicaba al estudio de teología, griego, y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la vista puesta en convertirse también en pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard estaba destinado a convertirse en un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado sobre la disertación sobre la propagación del sonido bajo el título De Sono[5] y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias Francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval. Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.[6]
San Petersburgo
, Daniel y Nicolas, se encontraban trabajando en la Academia Imperial Rusa de las Ciencias en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en la división de matemáticas y física, recomendó que el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras que intentaba conseguir, sin éxito, un puesto de profesor de física en la Universidad de Basilea.[7]
Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250 aniversario del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años desde el nacimiento del gran matemático y académico Leonhard Euler.
Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido desde su puesto en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas, en el que trabajó con Daniel Bernoulli, a menudo en estrecha colaboración. Euler aprendió el ruso y se estableció finalmente en San Petersburgo a vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo adicional como médico de la Armada Rusa.[8]
La Academia de San Petersburgo, creada por Pedro I el Grande, tenía el objetivo de mejorar el nivel educativo en Rusia y de reducir la diferencia científica existente entre ese país y Europa Occidental. Como resultado, se implementaron una serie de medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La academia poseía amplios recursos financieros y una biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.[6]
Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan sólo doce años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de físicas en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.[9]
El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven pareja compró una casa al lado del río Nueva y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron hasta la edad adulta.[10]
Berlín
El retrato sugiere problemas en el ojo derecho, así como un posible estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien más tarde Euler tuvo problemas de cataratas.[14]
La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 Euler sufrió una fiebre casi fatal y, tres años después de dicho acontecimiento, quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo.
La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el Cíclope. Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.[2] También se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6 potencias de los primeros 100 números primos.[15]
Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos trabajos se los dictó a su hijo mayor.
Retorno a Rusia
Tumba de Euler, ubicada en Monasterio de Alejandro Nevski.
La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y casi su vida y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40 años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.
El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San Petersburgo tras sufrir un ictus, y fue enterrado junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de Vasilievsky. Hoy en día el cementerio en el que fue enterrado Euler no existe, dado que fue destruido por los soviéticos. Éstos trasladaron previamente sus restos al monasterio ortodoxo de Alejandro Nevski.
El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para la Academia francesa.
…il cessa de calculer et de vivre — … dejó de calcular y de vivir.[16]
Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió un relato de su vida junto con un listado de sus obras.
Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas
Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera Omnia,[17] comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.[2] Además, y según el matemático Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10% de sus escritos.[18] Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.
Notación matemática
Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática,[1] siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.
También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los sumatorios y la letra i para hacer referencia a la unidad imaginaria.[19] El uso de la letra griega π para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.[20]
Análisis
El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,[21] es cierto que sus ideas supusieron grandes avances en ese campo.
e es el único número real para el valor a para el cual se cumple que el valor de derivada de la función f (x) = ax (curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En comparación se muestran las funciones 2x (línea punteada) y 4x (línea discontinua), que no son tangentes a la línea de pendiente 1 (en rojo).
El número e
Euler definió la constante matemática conocida como número e como aquel número real tal que el valor de su derivada (la pendiente de su línea tangente) en la función f(x) = ex en el punto x = 0 es exactamente 1. La función ex es también llamada función exponencial y su función inversa es el logaritmo natural, también llamado logaritmo neperiano o logaritmo en base e.
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es como el límite:
y también como la serie:
Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:
Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función arcotangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,[21] por el cual quedaba demostrado que:
Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los logaritmos.[19] También definió la función exponencial para números complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente fórmula:
Siendo un caso especial de la fórmula lo que se conoce como la identidad de Euler:
Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1,e,i y π.[22] En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia».[23] En total, Euler fue el responsable del descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.[23]
Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentales (aquellas que no se basan en operaciones algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico. Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales. El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.[24]
Teoría de números
El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero descartó también algunas de sus conjeturas.
Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.
Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.
Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.[25]
En el año 1772, Euler demostró que 231 - 1 = 2.147.483.647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.[26]
Notas
↑ a b Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, pp. 17.
↑ a b c Finkel, B.F. (1897). «Biography- Leonard Euler». The American Mathematical Monthly 4 (12): 300.
↑ Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America, pp. xiii. «Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.»
↑ James, Ioan (2002). Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann. Cambridge, pp. 2. ISBN 0-521-52094-0.
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